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Modellierungsmethode
Storyboard 
Um verschiedene Analysen durchführen zu können, ist es notwendig, über ein vereinfachtes Modell des Hauses zu verfügen. Hierfür wird zunächst ein Koordinatensystem festgelegt, das als Referenz für die Definition aller wichtigen Punkte dient. Mit diesen Punkten ist es möglich, Ebenen für die Wände, Decken und Böden festzulegen. Zusätzlich können Türen und Fenster bei Bedarf in die Wände integriert werden.
ID:(92, 0)
Grundmodell
Beschreibung
Das Grundmodell besteht aus einer Reihe von Punkten, die den Ecken von Oberflächen entsprechen. Diese Modellierungsmethode ähnelt der Art und Weise, wie in der Vergangenheit Modelle von Häusern, Booten und Flugzeugen erstellt wurden, indem man Kartonplatten ausschnitt und sie zusammenbaute:
In unserem Fall identifizieren wir Punkte an den Ecken von Wänden, Decken und Böden. Gruppen dieser Punkte werden zusammengeführt, um diese Oberflächen zu bilden, wie in diesem Beispiel, das die Vorderwand des Leuchtturms zeigt:
Die Punkte an der Fassade sind auch Punkte an den Seitenwänden, den Decken und dem Boden, obwohl dies in diesem Diagramm nicht sichtbar ist.
ID:(438, 0)
Koordinaten
Beschreibung
Um zu beginnen, ist es wichtig, ein Koordinatensystem festzulegen, durch das alle Punkte und später die Oberflächen definiert werden. Da das Koordinatensystem später gedreht werden kann und somit das gesamte Design, ist es nicht entscheidend, eine Orientierung basierend auf der Ausrichtung des Hauses festzulegen. Stattdessen soll ein System geschaffen werden, das bequem ist, um die Struktur zu definieren.
In diesem Projekt wurde als Ursprungspunkt ein Punkt auf dem Boden verwendet, der sich im Zentrum des Moduls befindet, das das Wohnzimmer, den Essbereich und die Küche beherbergt. Die Ausrichtung wurde so gewählt, dass die z-Achse entlang der vertikalen Linien verläuft, die y-Achse zwischen dem Zentrum des Sechsecks und der Mitte des Hauptfensters verläuft (also entlang der Linie, die das Wohnzimmer vom Essbereich trennt), und schließlich wird die x-Achse orthogonal zur Linie positioniert, die vom vorderen Teil des Studios bis zum Schlafzimmer verläuft.
ID:(588, 0)
Punkte
Bild
Sobald das Koordinatensystem definiert wurde, können wir fortfahren und alle Punkte festlegen, die die verschiedenen Oberflächen repräsentieren. Hierzu müssen wir die Abstände entlang der Achsen $\hat{x}$, $\hat{y}$ und $\hat{z}$ vom Ursprung, der dem System zugeordnet ist, angeben.
Darüber hinaus ist es zur Vereinfachung der Definition von Oberflächen ratsam, für jeden Punkt einen Code oder einen Namen festzulegen. Dies kann Logik beinhalten, wie die Angabe des Levels der Punkte mit einer anfänglichen Zahl oder einem Buchstaben, gefolgt von einem Trennzeichen wie einem Punkt und einer aufeinanderfolgenden Zahl. Zum Beispiel '0' für das Erdgeschoss, '1' für das Deckengeschoss, sodass der fünfte Punkt im ersten Geschoss als $P_{0.5}$ bezeichnet würde.
ID:(589, 0)
Vektoren
Gleichung
Mit zwei Punkten kann man einen Vektor definieren, indem man die Koordinaten eines Punktes von den Koordinaten des anderen subtrahiert.
Dieses Konzept wird durch die berechneten Komponenten jeder Differenz ausgedrückt und wird durch einen Buchstaben mit einem Pfeil darüber gekennzeichnet:
 $ \vec{p}_i = (p_{i,x} - p_{0,x},p_{i,y} - p_{0,y},p_{i,z} - p_{0,z})$ |
ID:(595, 0)
Vektorlänge
Gleichung
Mit zwei Punkten kann man einen Vektor definieren, indem man die Koordinaten eines Punktes von den Koordinaten des anderen subtrahiert. Jede Komponente des Vektors entspricht daher einer Seite eines Prismas. Wenn man die Punkte in einer Ebene betrachtet, reduziert sich die geometrische Figur auf ein Dreieck:
Im Allgemeinen kann die Länge des Vektors mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden, und das Ergebnis ist die Betrag des Vektors:
| $ \mid\vec{p}_i\mid = \sqrt{(p_{i,x} - p_{0,x})^2+(p_{i,y} - p_{0,y})^2+(p_{i,z} - p_{0,z})^2}$ |
Dies wird als die Betrag des Vektors bezeichnet.
ID:(596, 0)
Oberflächen
Beschreibung
Jede Oberfläche besteht aus mindestens drei Punkten, was einem Dreieck entspricht. Ein Rechteck besteht aus vier Punkten, während eine komplexere Form wie ein Sechseck sechs Punkte verwendet.
Um eine Oberfläche zu definieren, müssen die Punkte, die sie bilden, in der Reihenfolge angegeben werden, in der sie verbunden werden sollen. Darüber hinaus können Sie jeder Oberfläche einen Namen zuweisen, um die spätere Identifikation zu erleichtern.
Um Probleme zu vermeiden, ist es wichtig zu beachten:
Es ist entscheidend zu bedenken, dass alle anderen Einheitsvektoren, die mit den verbleibenden Punkten und demselben Ursprung definiert werden können, sich in derselben Ebene befinden müssen wie die durch den ersten und letzten Vektor definierte. Andernfalls ist die Oberfläche nicht flach.
ID:(590, 0)
Versor
Gleichung
Um Licht- und Sonnenheizungsströme zu berechnen, ist es notwendig, mit der Normalrichtung zu Oberflächen wie Fenstern, Wänden und Decken zu arbeiten. Um diese Richtung zu erhalten, muss der entsprechende Vektor normalisiert werden, d.h., er wird durch seine Länge geteilt, so dass seine Länge immer eine Einheit beträgt, unabhängig von der Richtung, in die er zeigt.
Daher wird der Einheitsvektor (der mit einem Hut anstelle eines Pfeils gekennzeichnet ist, zum Beispiel $\hat{x}$) als der Vektor zum $i$-ten Punkt $\vec{p}_i$ durch seine Länge $\mid\vec{p}_i\mid$ geteilt, definiert:
| $ \hat{n}_i = \displaystyle\frac{\vec{p}_i}{\mid\vec{p}_i\mid}$ |
ID:(597, 0)
Fläche von der Oberfläche
Gleichung
Die Fläche des durch zwei Vektoren erzeugten Parallelepipedons kann direkt aus der Betrag des Kreuzprodukts dieser Vektoren berechnet werden. Wenn Sie also die Fläche zwischen aufeinanderfolgenden Vektoren berechnen möchten, können Sie dies wie folgt tun: Die erste Fläche wird zwischen dem Vektor $\vec{p}_2$ und dem Vektor $\vec{p}_1$ berechnet, die zweite zwischen dem Vektor $\vec{p}_3$ und dem Vektor $\vec{p}_2$ usw. Dies kann besser mit einem Beispiel von vier Punkten visualisiert werden:
Im Allgemeinen wird die Gesamtfläche wie folgt berechnet:
| $ S = \displaystyle\sum_i \mid \vec{p}_{i+1} \times \vec{p}_i \mid$ |
ID:(594, 0)
Versor normal zur Oberfläche
Gleichung
Wenn wir den ersten Punkt $P_0$ der Sequenz von Punkten, die eine Oberfläche definieren, als den Ursprung nehmen, den zweiten Punkt $P_1$ verwenden, um den ersten Einheitsvektor $\hat{n}_1$ zu definieren, und den letzten Punkt $P_N$ verwenden, um den zweiten Einheitsvektor $\hat{n}_N$ zu definieren, können wir den normalen Einheitsvektor zur Oberfläche wie folgt definieren:
Da Einheitsvektoren per Definition normalisiert sind, ist das Kreuzprodukt ebenfalls normalisiert, was bedeutet, dass das Ergebnis eine Richtung widerspiegelt.
Um die Berechnung durchzuführen, können wir mit den Einheitsvektoren $(n_{1,x}, n_{1,y}, n_{1,z})$ und $(n_{N,x}, n_{N,y}, n_{N,z})$ arbeiten. Wir können die folgende Gleichung verwenden:
$\hat{n}_1\times\hat{n}_N=(n_{1,y}n_{N,z}-n_{1,z}n_{N,y},n_{1,z}n_{N,x}-n_{1,x}n_{N,z},n_{1,x}n_{N,y}-n_{1,y}n_{N,x})$
ID:(591, 0)
Fenster und Türen
Bild
Für die Definition von Türen und Fenstern verwenden wir ein lokales Koordinatensystem, das von den Einheitsvektoren definiert wird, die zur Berechnung des Einheitsnormalvektors verwendet wurden, nämlich $\hat{n}_1$ und $\hat{n}_N$. Wir arbeiten auf der Oberfläche, auf der der Einheitsnormalvektor positiv ist. Wir beginnen damit, die untere linke Ecke der Tür oder des Fensters zu definieren. Dann geben wir die Breite und die Höhe an.
Jedes Fenster und jede Tür wird individuell definiert.
ID:(592, 0)
Hausrotation
Bild
Sobald die Punkte, Oberflächen (Wände, Böden und Decken), Fenster und Türen definiert wurden, ist es möglich, das Design zu drehen. Dies liegt daran, dass es bei der anfänglichen Definition bequem ist, ein möglichst einfaches Koordinatensystem zu verwenden, das nicht unbedingt mit Norden als $\hat{y}$-Achse und Osten als $\hat{x}$-Achse übereinstimmt. Die Rotation erfolgt in der Regel um die vertikale $\hat{z}$-Achse und ermöglicht die Darstellung des gesamten Designs in einem Koordinatensystem, das räumlich günstiger ist:
Die Rotation verschiebt alle Punkte und damit alle Vektoren und Einheitsvektoren, die berechnet wurden. Dies ist wichtig, da es ermöglicht, zu untersuchen, wie Licht mit der Struktur interagiert.
ID:(593, 0)