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Estabilidad

Carga estática sobre radier

Muralla de contención

Muralla de contención

Storyboard

En muchas ocasiones, se observan movimientos de tierra alrededor de una vivienda, lo que puede ocasionar la formación de laderas potencialmente inestables, necesitando así la instalación de muros de contención. En ciertos escenarios, el desafío no reside tanto en asegurar la estabilidad de dichas laderas, sino en proporcionar una solución que prevenga futuros desprendimientos, los cuales podrían dificultar el tránsito en áreas adyacentes.

>Modelo

ID:(112, 0)

Necesidad de contención

Concepto

>Top

En este caso, en el lado sur del terraplén, hay una ladera que se forma a partir de la creación de este, la cual fue modelada con un ángulo de pendiente de la pared desde la horizontal ($\alpha$) y contiene el suelo propio de la ladera, que tiene un ángulo de pendiente de relleno ($\beta$).

Con el objetivo de obtener un acabado más refinado y minimizar el deterioro progresivo de la ladera, se está considerando la construcción de una muralla de contención de una altura del muro ($H$) y la profundidad del muro ($d$).

ID:(733, 0)

Principio de la inestabilidad

Concepto

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La pared de contención retiene el suelo que se encuentra con un ángulo superior a el ángulo de fricción entre el suelo y la pared. ($\varphi$) o ángulo de reposo, es decir, el ángulo bajo el cual el suelo reposa y no se desliza. Si se removiera la pared de contención, sería el segmento de suelo con el mayor ángulo el que se deslizaría:

La mecánica completa para contener el suelo se reduce a las medidas necesarias para retener el suelo que se deslizaría sin ella y que se encuentra entre el ángulo de fricción entre el suelo y la pared. ($\varphi$) y el ángulo de pendiente de la pared desde la horizontal ($\alpha$).

ID:(752, 0)

Fuerza activa por largo

Concepto

>Top

Sobre el elemento que puede deslizarse actúa una fuerza que llamaremos la fuerza activa por largo aplicada al muro ($f_A$). Esta fuerza tiene componentes la fuerza horizontal por largo del suelo aplicada al muro ($f_H$)

$ f_H = f_A \cos \varphi $

y la fuerza vertical por largo del suelo aplicada al muro ($f_V$) con

$ f_V = f_A \sin \varphi $

que son proyecciones en el ángulo de fricción entre el suelo y la pared. ($\varphi$):

Además, es necesario considerar el peso total del muro por largo ($w$), ya que contribuye a estabilizar la pared de contención.

Estas componentes pueden causar desplazamiento, hundimiento y vuelco de la pared de contención, lo que lleva a factores de seguridad que deben cumplirse para garantizar que el diseño sea estable.

ID:(753, 0)

Construcción de la muralla de contención

Concepto

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Una forma sencilla de construir una pared de contención es utilizando ladrillos de una profundidad del muro ($d$) de longitud y que alcanzan una altura del muro ($H$) de altura:

Este tipo de pared se basa en su propio peso para retener eficazmente el suelo contenido por ella. Por lo tanto, la masa de la pared es crucial.

ID:(735, 0)

Alternativa de ladrillo

Concepto

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Una alternativa son los bloques de concreto Graublock GST-20, que tienen una altura de 19 cm, un ancho de 39 cm y una profundidad de 19 cm.

Dado que el ángulo de la muralla sería de el ángulo de pendiente de la pared desde la horizontal ($\alpha$) de 60°, los bloques deben apilarse con un desfase de 11 cm.

Con una apertura de 12.6 cm de ancho, cada borde sobresaldría 3.2 cm, dejando una apertura de 7.8 cm donde se pueden plantar vegetación. Esta pared recibiría algo de luz solar (parcialmente cubierta por la casa) y estaría más protegida del viento, creando una especie de jardín vertical.

Para mantener una altura masiva y aprovechar ópticamente la pared, los espacios entre los ladrillos pueden llenarse con tierra y plantar algún tipo de vegetación. En este caso, cada ladrillo tiene un espacio de $6\times 10^{-3} m^3$ que permite agregar aproximadamente 9 kg de suelo, lo que aumenta la masa del ladrillo a 26 kg.

ID:(734, 0)

Deslizando

Concepto

>Top

El peso total del muro por largo ($w$) y la fuerza vertical por largo del suelo aplicada al muro ($f_V$) generan, a través de el ángulo de fricción interna del suelo ($\phi$), una fuerza por largo que resiste el deslizamiento ($f_R$), que se puede calcular mediante:

$ f_R = ( w + f_V )\tan \phi $

y que puede evitar que la fuerza horizontal por largo del suelo aplicada al muro ($f_H$) desplace la pared de contención, desestabilizando el sistema:

Para asegurar que la pared de contención no se desplace, se exige que la relación entre ambas fuerzas, expresada en el factor de seguridad contra deslizamiento ($SFS$), sea por seguridad superior a 2.0.

ID:(736, 0)

Apoyo

Concepto

>Top

El peso total del muro por largo ($w$) y la fuerza vertical por largo del suelo aplicada al muro ($f_V$) generan, a través de la profundidad del muro ($d$), una fuerza de una presión debajo de la base del bloque ($\sigma_W$), que puede calcularse mediante:

$ \sigma_W = \displaystyle\frac{1}{ d }( w + f_V )$

Esta fuerza puede superar a la capacidad de carga ($\sigma_S$), lo que llevaría a un hundimiento de la pared de contención:

Para asegurar que la pared de contención no se desplace, se exige que la relación entre ambas tensiones, expresada en el factor de seguridad para soporte ($FSB$), sea por seguridad superior a 2.0.

ID:(737, 0)

Vuelco

Concepto

>Top

La muralla de contención se puede ser volcada si el troque que genera la fuerza horizontal por largo del suelo aplicada al muro ($f_H$) supera el que generan el peso total del muro por largo ($w$) y la fuerza vertical por largo del suelo aplicada al muro ($f_V$) que tiende a asentar la pared sobre su base:

ID:(738, 0)

Estabilidad ante vuelco

Concepto

>Top

El riesgo de que la muralla de contención se vuelque proviene del hecho que la fuerza horizontal por largo del suelo aplicada al muro ($f_H$) crea con la altura del muro ($H$) Un momento de volcamiento por largo ($m_O$)

$ m_O = \displaystyle\frac{1}{3} H f_H $

a rotar la pared hacia adelante. Como contra peso el peso total del muro por largo ($w$) y la fuerza vertical por largo del suelo aplicada al muro ($f_V$) generan con la profundidad del muro ($d$), el ángulo de pendiente de la pared desde la horizontal ($\alpha$) y el ángulo de fricción entre el suelo y la pared. ($\varphi$) Un momento de resistencia por largo ($m_R$)

$ m_R = \displaystyle\frac{1}{2}\left( d + H \text{cot} \alpha \right) w + \left( d + \displaystyle\frac{1}{3} H \text{cot} \varphi \right) f_V $

opuesto que tiende a asentar la pared sobre su base.

De primar el primero la pared invariablemente rotara y se desplomara por lo que es importante estimar la proproción de el momento de resistencia por largo ($m_R$) con respecto a el momento de volcamiento por largo ($m_O$) definido como el factor de seguridad contra volcamiento ($SFO$) y velar que este este a lo menos sobre 1.5.

ID:(739, 0)

Mecanismos

Concepto

>Top

La geometría de la muralla de contención se refleja en el coeficiente de presión activa ($K_a$), que junto con la altura del muro ($H$) define la la fuerza activa por largo aplicada al muro ($f_A$), lo que podría llevar a la pared a desestabilizarse. Mediante las componentes la fuerza horizontal por largo del suelo aplicada al muro ($f_H$) y la fuerza vertical por largo del suelo aplicada al muro ($f_V$), podemos estimar los riesgos de desplazamiento (el factor de seguridad contra deslizamiento ($SFS$)) y hundimiento (el factor de seguridad para soporte ($FSB$)), y a través de los torques el momento de volcamiento por largo ($m_O$) y el momento de resistencia por largo ($m_R$), el riesgo de volcamiento (el factor de seguridad contra volcamiento ($SFO$)).

Conocimiento

Código

Concepto

Mecanismos

ID:(754, 0)

Coeficiente de presión activa

Ecuación

>Top, >Modelo

En 1776 Charles-Augustin de Coulomb [1] mostro que la fuerza que ejerce suelo tras una pared de contención el coeficiente de presión activa ($K_a$) que depende de el ángulo de pendiente de la pared desde la horizontal ($\alpha$), el ángulo de pendiente de relleno ($\beta$), el ángulo de fricción entre el suelo y la pared. ($\varphi$) y el ángulo de fricción interna del suelo ($\phi$) mediante la ecuación

$ K_a = \displaystyle\frac{\sin^2( \alpha + \phi )}{\sin^2 \alpha \sin( \alpha - \varphi )\left[1+\sqrt{\displaystyle\frac{\sin( \phi + \varphi )\sin( \phi - \beta )}{\sin( \alpha - \varphi )\sin( \alpha + \beta )}}\right]^2}$

$\varphi$

Ángulo de fricción entre el suelo y la pared.

$rad$

$\phi$

Ángulo de fricción interna del suelo

$rad$

$\alpha$

Ángulo de pendiente de la pared desde la horizontal

$rad$

$\beta$

Ángulo de pendiente de relleno

$rad$

$K_a$

Coeficiente de presión activa

$-$

[1] "Essai sur une application des règles des maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l'architecture." (Ensayo sobre la aplicación de las reglas de los máximos y mínimos a algunos problemas de estática relativos a la arquitectura.), Charles-Augustin de Coulomb, Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris, 7, 343-382 (1776)

ID:(740, 0)

Fuerza activa por largo aplicada al muro

Ecuación

>Top, >Modelo

La fuerza activa por largo aplicada al muro ($f_A$), que es una función de la densidad del suelo ($\rho_S$), la aceleración gravitacional ($g$), el coeficiente de presión activa ($K_a$) y la altura del muro ($H$) se calcula según [1] mediante

$ f_A = \displaystyle\frac{1}{2} \rho_S g K_a H ^2$

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

$H$

Altura del muro

$m$

$K_a$

Coeficiente de presión activa

$-$

$\rho_S$

Densidad del suelo

$kg/m^3$

$f_A$

Fuerza activa por largo aplicada al muro

$N/m$

ID:(741, 0)

Peso total por largo del muro

Ecuación

>Top, >Modelo

El peso total del muro por largo ($w$) se puede con la densidad del muro ($\rho_W$), la aceleración gravitacional ($g$) y el volumen por largo que se calcula de la altura del muro ($H$) y la profundidad del muro ($d$) siendo:

$ w = \rho_W g H d $

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

$H$

Altura del muro

$m$

$\rho_W$

Densidad del muro

$kg/m^3$

$w$

Peso total del muro por largo

$N/m$

$d$

Profundidad del muro

$m$

En un muralla de contención que ante todo opera por gravedad es importante que la densidad del muro ($\rho_W$) y/o la profundidad del muro ($d$) sean grandes para generar suficiente roce.

ID:(742, 0)

Fuerza vertical del suelo por largo aplicada al muro

Ecuación

>Top, >Modelo

Dado que la fuerza activa por largo aplicada al muro ($f_A$) tiene un el ángulo de fricción entre el suelo y la pared. ($\varphi$) respecto a la horizontal, su proyección vertical es la fuerza vertical por largo del suelo aplicada al muro ($f_V$) según

$ f_V = f_A \sin \varphi $

$\varphi$

Ángulo de fricción entre el suelo y la pared.

$rad$

$f_A$

Fuerza activa por largo aplicada al muro

$N/m$

$f_V$

Fuerza vertical por largo del suelo aplicada al muro

$N/m$

ID:(743, 0)

Fuerza horizontal del suelo por largo aplicada al muro

Ecuación

>Top, >Modelo

Dado que la fuerza activa por largo aplicada al muro ($f_A$) tiene un ángulo de el ángulo de fricción entre el suelo y la pared. ($\varphi$) respecto a la horizontal, su proyección horizontal es de la fuerza horizontal por largo del suelo aplicada al muro ($f_H$) según

$ f_H = f_A \cos \varphi $

$\varphi$

Ángulo de fricción entre el suelo y la pared.

$rad$

$f_A$

Fuerza activa por largo aplicada al muro

$N/m$

$f_H$

Fuerza horizontal por largo del suelo aplicada al muro

$N/m$

ID:(744, 0)

Fuerza por largo que resiste deslizamiento

Ecuación

>Top, >Modelo

La resistencia se origina por la fuerza de roce tanto por el peso total del muro por largo ($w$) como la fuerza vertical por largo del suelo aplicada al muro ($f_V$) poderado por la tangente de el ángulo de fricción interna del suelo ($\phi$):

$ f_R = ( w + f_V )\tan \phi $

$\phi$

Ángulo de fricción interna del suelo

$rad$

$f_R$

Fuerza por largo que resiste el deslizamiento

$N/m$

$f_V$

Fuerza vertical por largo del suelo aplicada al muro

$N/m$

$w$

Peso total del muro por largo

$N/m$

ID:(745, 0)

Factor de seguridad contra deslizamiento

Ecuación

>Top, >Modelo

Para determinar el peligro que se corre de que la muralla de contensión se desplace por efecto de la fuerza que ejerce el suelo retenido se determina el factor de seguridad contra deslizamiento ($SFS$) dividiendo la fuerza por largo que resiste el deslizamiento ($f_R$) por la fuerza horizontal por largo del suelo aplicada al muro ($f_H$):

$ SFS = \displaystyle\frac{ f_R }{ f_H }$

$SFS$

Factor de seguridad contra deslizamiento

$-$

$f_H$

Fuerza horizontal por largo del suelo aplicada al muro

$N/m$

$f_R$

Fuerza por largo que resiste el deslizamiento

$N/m$

Si el factor de seguridad contra deslizamiento ($SFS$) exide la unidad se tiene una situación en que la fuerza por largo que resiste el deslizamiento ($f_R$) supera a la fuerza horizontal por largo del suelo aplicada al muro ($f_H$) con lo que la muralla no debiese desplazarse. Como los valores son estimados puede arroja un factor superior a la unidad siendo en realidad la fuerza por largo que resiste el deslizamiento ($f_R$) inferior a la fuerza horizontal por largo del suelo aplicada al muro ($f_H$) se exige por seguridad que el factor sea superior a 2.0 para considerar que la muralla no se desplazará.

ID:(746, 0)

Momento de volcamiento por largo

Ecuación

>Top, >Modelo

La distancia entre el punto de aplicación de la fuerza horizontal por largo del suelo aplicada al muro ($f_H$) y el punto de pivote es igual a $H/3$ debido al triángulo de fuerzas en el que esta se incrementa con la profundidad en el suelo detrás de la pared de contención.

Como el torque por longitud es igual a el momento de volcamiento por largo ($m_O$), calculado de la fuerza horizontal por largo del suelo aplicada al muro ($f_H$) por el brazo vertical que corresponde a la altura del muro ($H$) tercios, se tiene:

$ m_O = \displaystyle\frac{1}{3} H f_H $

$H$

Altura del muro

$m$

$f_H$

Fuerza horizontal por largo del suelo aplicada al muro

$N/m$

$m_O$

Momento de volcamiento por largo

$N$

El momento de volcamiento por largo ($m_O$) se obtiene sumando el area del suelo entre el ángulo de fricción interna del suelo ($\phi$) y el ángulo de pendiente de la pared desde la horizontal ($\alpha$) asumiendo que el primero es similar al angulo de reposo del material. A una altura h sobre el suelo el ancho del segmento es de

$h$

ID:(747, 0)

Momento de resistencia al volcamiento

Ecuación

>Top, >Modelo

Para el torque que estabiliza la pared de contención, tanto el peso total del muro por largo ($w$) como la fuerza vertical por largo del suelo aplicada al muro ($f_V$) son considerados. Los brazos necesarios se pueden derivar de la geometría consultando el siguiente diagrama:

En este, el brazo de el peso total del muro por largo ($w$) se compone de la mitad de la longitud de la profundidad del muro ($d$) y la distancia desde el centro de masa de la pared de contención, calculada a partir de la altura del muro ($H$) y el ángulo de pendiente de la pared desde la horizontal ($\alpha$):

$\displaystyle\frac{1}{2}d + \displaystyle\frac{1}{2}H \text{cot}\alpha$

Para el caso de la fuerza vertical por largo del suelo aplicada al muro ($f_V$), se debe sumar la profundidad del muro ($d$) a la distancia horizontal desde el punto de aplicación de la fuerza activa por largo aplicada al muro ($f_A$), que se asocia a la altura del muro ($H$) y el ángulo de fricción entre el suelo y la pared. ($\varphi$), mediante:

$d + \displaystyle\frac{1}{3}H \text{cot}\varphi$

Con esto, se obtiene:

$ m_R = \displaystyle\frac{1}{2}\left( d + H \text{cot} \alpha \right) w + \left( d + \displaystyle\frac{1}{3} H \text{cot} \varphi \right) f_V $

$H$

Altura del muro

$m$

$\varphi$

Ángulo de fricción entre el suelo y la pared.

$rad$

$\alpha$

Ángulo de pendiente de la pared desde la horizontal

$rad$

$f_V$

Fuerza vertical por largo del suelo aplicada al muro

$N/m$

$m_R$

Momento de resistencia por largo

$N$

$w$

Peso total del muro por largo

$N/m$

$d$

Profundidad del muro

$m$

ID:(748, 0)

Factor de seguridad contra volcamiento

Ecuación

>Top, >Modelo

Para determinar el peligro que se corre de que la muralla de contensión rote se define el factor de seguridad contra volcamiento ($SFO$) en que se divide el momento de resistencia por largo ($m_R$):

$ SFO = \displaystyle\frac{ m_R }{ m_O }$

$SFO$

Factor de seguridad contra volcamiento

$-$

$m_R$

Momento de resistencia por largo

$N$

$m_O$

Momento de volcamiento por largo

$N$

que representa la proproción en que excede el torque de intenta asentar la muralla sobre el que la pretende volcar. Se considera como seguro un diseño en que este factor es superior 1.5.

ID:(749, 0)

Presión aplicada en el suelo debajo de la base del bloque

Ecuación

>Top, >Modelo

La presión debajo del bloque surge de el peso total del muro por largo ($w$) y la fuerza vertical por largo del suelo aplicada al muro ($f_V$), que debe ser dividida por el área a lo largo de la muralla, lo que equivale a la profundidad del muro ($d$). Por lo tanto, se concluye que la presión debajo de la base del bloque ($\sigma_W$) es

$ \sigma_W = \displaystyle\frac{1}{ d }( w + f_V )$

$f_V$

Fuerza vertical por largo del suelo aplicada al muro

$N/m$

$w$

Peso total del muro por largo

$N/m$

$\sigma_W$

Presión debajo de la base del bloque

$Pa$

$d$

Profundidad del muro

$m$

ID:(750, 0)

Factor de seguridad para soporte

Ecuación

>Top, >Modelo

Para determinar si existe riesgo de que la muralla de contención se hunda en el suelo que la debe soportar, se debe comparar la presión debajo de la base del bloque ($\sigma_W$) con la capacidad de carga ($\sigma_S$), siendo la primera inferior a la segunda.

Así, se puede definir el factor de seguridad para soporte ($FSB$) como la proporción entre la capacidad de carga ($\sigma_S$) y la presión debajo de la base del bloque ($\sigma_W$):

$ FSB = \displaystyle\frac{ \sigma_S }{ \sigma_W }$

$\sigma_S$

Capacidad de carga

$Pa$

$FSB$

Factor de seguridad para soporte

$-$

$\sigma_W$

Presión debajo de la base del bloque

$Pa$

asegurando que por razones de seguridad este factor sea igual o superior a 2.0.

ID:(751, 0)

Modelo

Concepto

>Top

Parámetros

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$g$

Aceleración gravitacional

m/s^2

$\varphi$

vphi

Ángulo de fricción entre el suelo y la pared.

rad

$\phi$

phi

Ángulo de fricción interna del suelo

rad

$\beta$

beta

Ángulo de pendiente de relleno

rad

$\sigma_S$

sigma_S

Capacidad de carga

$\rho_S$

rho_S

Densidad del suelo

kg/m3

Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$H$

Altura del muro

$\alpha$

alpha

Ángulo de pendiente de la pared desde la horizontal

rad

$K_a$

K_a

Coeficiente de presión activa

$\rho_W$

rho_W

Densidad del muro

kg/m3

$SFS$

SFS

Factor de seguridad contra deslizamiento

$SFO$

SFO

Factor de seguridad contra volcamiento

$FSB$

FSB

Factor de seguridad para soporte

$f_A$

f_A

Fuerza activa por largo aplicada al muro

N/m

$f_H$

f_H

Fuerza horizontal por largo del suelo aplicada al muro

N/m

$f_R$

f_R

Fuerza por largo que resiste el deslizamiento

N/m

$f_V$

f_V

Fuerza vertical por largo del suelo aplicada al muro

N/m

$m_R$

m_R

Momento de resistencia por largo

$m_O$

m_O

Momento de volcamiento por largo

$w$

Peso total del muro por largo

N/m

$\sigma_W$

sigma_W

Presión debajo de la base del bloque

$d$

Profundidad del muro

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

Ecuación

$ FSB = \displaystyle\frac{ \sigma_S }{ \sigma_W }$

FSB = sigma_S / sigma_W

$ f_A = \displaystyle\frac{1}{2} \rho_S g K_a H ^2$

f_A = rho_S * g * K_a * H ^2/2

$ f_H = f_A \cos \varphi $

f_H = f_A * cos( vphi )

$ f_R = ( w + f_V )\tan \phi $

f_R = ( w + f_V )* tan( phi )

$ f_V = f_A \sin \varphi $

f_V = f_A * sin( vphi )

K_a = sin( alpha + phi )^2/(sin( alpha )^2*sin( alpha - vphi )*[1+sqrt((sin( phi + vphi )*sin( phi - beta ))/(sin( alpha - vphi )*sin( alpha + beta )))]^2)

$ m_O = \displaystyle\frac{1}{3} H f_H $

m_O = H * f_H / 3

$ m_R = \displaystyle\frac{1}{2}\left( d + H \text{cot} \alpha \right) w + \left( d + \displaystyle\frac{1}{3} H \text{cot} \varphi \right) f_V $

m_R = ( d + H * cot( alpha ) ) * w /2 + ( d + H * cot( vphi )/3)* f_V

$ SFO = \displaystyle\frac{ m_R }{ m_O }$

SFO = m_R / m_O

$ SFS = \displaystyle\frac{ f_R }{ f_H }$

SFS = f_R / f_H

$ \sigma_W = \displaystyle\frac{1}{ d }( w + f_V )$

sigma_W = ( w + f_V )/ d

$ w = \rho_W g H d $

w = rho_W * g * H * d

ID:(755, 0)