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Posición del sol

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La posición del sol es fundamental para determinar la cantidad de energía que la casa recibe en forma de radiación. Por lo tanto, es crucial comprender cómo se puede modelar su evolución, la cual depende de factores como la latitud, longitud, hora del día y época del año.

>Modelo

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Puntos de referencia sobre la superficie del planeta

Imagen

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Existen dos puntos clave para el cálculo de la posición del sol en el firmamento. Por un lado, está la posición geográfica (OP) del lugar, que se puede definir mediante su latitud ($\theta_0$, representada por una pieza LEGO® de color púrpura) y longitud ($\varphi_0$, representada por una pieza LEGO® de color rosa oscuro). Si se representa gráficamente, se debe tener en cuenta que el eje con el que se definen las coordenadas está rotado por el ángulo de inclinación del eje de la Tierra ($\vartheta$, representado por una pieza LEGO® de color rosa claro):

El segundo punto es la posición en la Tierra donde el sol se encuentra justo en el cenit. Este punto se denomina el punto subsolar (SP) y también se puede describir mediante una latitud ($\theta_s$, representada por una pieza LEGO® de color azul oscuro) y una longitud ($\varphi_s$, representada por una pieza LEGO® de color azul celeste) que varían con el tiempo ($t$, representado por una pieza LEGO® de color blanco):

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Cálculo de la latitud del punto subsolar

Ecuación

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El punto subsolar corresponde al punto en la superficie de la Tierra que está más cerca del sol. Debido a que el eje del planeta presenta una inclinación de 23.44 grados (0.409 radianes), la latitud del punto subsolar varía a lo largo del año.

Para representarlo gráficamente, podemos imaginar una esfera con un eje inclinado en un ángulo del mismo nombre ($\vartheta$, representado por una pieza LEGO® de color rosa claro) que rota a lo largo del año ($t$, representado por una pieza LEGO® de color blanco), asumiendo valores ($\theta_s$, representada por una pieza LEGO® de color azul celeste) que pueden alcanzar un máximo igual a la inclinación pero no menor que el valor negativo de la inclinación:

Dado que el punto de máximo acercamiento al sol ocurre en el solsticio de diciembre, que es aproximadamente 10 días antes del inicio del año, y el avance es a una velocidad angular constante, la latitud del punto subsolar se puede calcular mediante la fórmula:

$ \theta_s = -0.409 \cos\left(2\pi\displaystyle\frac{ n +10}{365}\right)$

donde $n$ es el número de días desde el inicio del año. Esto te permitirá determinar la posición del punto subsolar en cualquier día del año y comprender cómo varía la latitud solar a lo largo de las estaciones.

ID:(613, 0)

Efecto de la inclinación del eje de la tierra

Imagen

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Poder modelar cómo la declinación afecta a cada lugar en la Tierra a lo largo del año es crucial.

La ecuación, que se representa simplemente con un ladrillo azul claro brillante y uno blanco (este último representa el tiempo), nos proporciona los extremos del ángulo del cenit. En verano, cuando nuestro hemisferio está más cerca del Sol,

el ángulo máximo del cenit es igual a la suma de la latitud y la inclinación. En Palos Verdes, esto corresponde a 63.37°.

Por otro lado, en invierno, cuando el hemisferio está más lejos del Sol,

el ángulo máximo del cenit se obtiene restando el ángulo de inclinación a la latitud. En Palos Verdes, esto corresponde a 16.49°.

De esta manera, el movimiento del Sol corresponde a círculos alrededor del eje de la Tierra que varían en el ángulo del cenit a lo largo del año. Del mismo modo, los momentos en que sale y se pone el Sol se desplazan por el horizonte, como se muestra en el siguiente diagrama:

ID:(677, 0)

Cálculo del ángulo horario

Ecuación

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Para calcular la longitud del punto subsolar $SP$ ($\varphi_s$, representada por una pieza LEGO® de color azul celeste), podemos estudiar la diferencia entre esta longitud y la del lugar geográfico ($\varphi_o$, representada por una pieza LEGO® de color rosa oscuro). Más que calcular la longitud del punto subsolar en sí, lo que importa es la diferencia en la posición de este punto con respecto a la longitud, y, por lo tanto, el ángulo que falta o sobra en comparación con la situación en la que el sol está en su punto más alto en función de la hora del día o sea del tiempo ($t$, representado por una pieza LEGO® de color blanco):

Por lo tanto, el ángulo se puede calcular con la siguiente fórmula:

$ \varphi_s - \varphi_o = 2\pi \displaystyle\frac{ t }{24\cdot 60\cdot 60}$

ID:(615, 0)

Cálculo de la ángulo de azimut solar

Ecuación

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El ángulo de azimut solar se puede estimar utilizando la siguiente ecuación aproximada:

$ \sin \varphi_a = - \displaystyle\frac{\sin( \varphi_s - \varphi_o )\cos \vartheta }{\sin \theta_z }$

ID:(616, 0)

Cálculo del ángulo de zenit

Ecuación

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La latitud y la longitud de un lugar nos permiten describir la dirección del cenit con respecto al centro de la Tierra.

Mientras que utilizando los ángulos de inclinación y horario, podemos encontrar la dirección del punto subsolar, que puede trasladarse de manera paralela al lugar en estudio.

Con estas dos direcciones, podemos calcular fácilmente el ángulo entre ellas, lo que nos proporciona una ecuación que depende de los cuatro ángulos mencionados anteriormente. Sin embargo, dado que los ángulos que describen la posición del punto subsolar dependen del tiempo, podemos expresar el ángulo del cenit en función de la latitud, la longitud y el tiempo.

En términos matemáticos, la dirección del punto subsolar ($SP$) tiene una latitud $\theta_s$ y una longitud $\varphi_s$. El plano del ecuador está inclinado en relación al plano de la eclíptica (el plano de la órbita de la Tierra alrededor del Sol) por un ángulo $\vartheta$, que corresponde a la latitud del punto $OP$ $\theta_o$.

Al considerar ambas direcciones, podemos calcular el coseno del ángulo del cenit como el producto escalar entre ambas direcciones:

$\cos \theta_z = \sin \theta_s \sin \vartheta + \cos \theta_s \cos \vartheta \cos( \varphi_s - \varphi_o )$

El vector que indica la posición de $OP$ está dado por:

$\vec{OP} = \cos\theta_s\cos\varphi_s\hat{x}+\cos\theta_s\sin\varphi_s\hat{y}+\sin\theta_s\hat{z}$

Mientras que el punto $SP$ se encuentra en:

$\vec{SP} = \cos\theta_o\cos\varphi_o\hat{x}+\cos\theta_o\sin\varphi_o\hat{y}+\sin\theta_o\hat{z}$

El coseno del ángulo del zenit se obtiene como el producto escalar de ambos vectores:

$\cos\theta_z=\vec{OP}\cdot\vec{SP}$

Por lo tanto, se obtiene:

$\cos(\varphi_s-\varphi_o)=\cos\varphi_s\cos\varphi_o+\sin\varphi_s\sin\varphi_o$

$\theta_o = \vartheta$

Lo que lleva a:

$\cos \theta_z = \sin \theta_s \sin \vartheta + \cos \theta_s \cos \vartheta \cos( \varphi_s - \varphi_o )$

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Instructivo para el cálculo del ángulo del cenit y azimut

Imagen

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A partir de la latitud y longitud de un lugar en la Tierra y de la posición del punto subsolar, se puede calcular la dirección en la que se verá el sol. Para hacerlo, primero calculamos cómo varía la latitud del punto subsolar y el ángulo horario que indica cómo se desplaza el punto subsolar en longitud con respecto al lugar en la Tierra considerado. Con estos datos, podemos calcular el ángulo cenital y azimutal, lo que nos permite formular un vector que apunta hacia el sol:

En este caso, se pueden identificar los siguientes cálculos:

1. Latitud del punto subsolar

2. Ángulo horario

3. Ángulo cenital

4. Ángulo azimutal

5. Vector de dirección del sol

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