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Palos Verdes

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Sonnenstand

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Die Position der Sonne ist entscheidend für die Bestimmung der Energiemenge, die das Haus in Form von Strahlung erhält. Daher ist es wichtig zu verstehen, wie ihre Position modelliert werden kann, abhängig von Faktoren wie Breitengrad, Längengrad, Tageszeit und Jahreszeit.

>Modell

ID:(108, 0)

Bezugspunkte auf der Oberfläche des Planeten

Bild

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Es gibt zwei entscheidende Punkte für die Berechnung der Position der Sonne am Himmel. Zum einen gibt es die geografische Position (OP) eines Ortes, die durch seine Breitengrad ($\theta_0$, dargestellt durch ein LEGO®-Stück in lila) und Längengrad ($\varphi_0$, dargestellt durch ein LEGO®-Stück in dunkelrosa) definiert werden kann. Wenn dies grafisch dargestellt wird, ist zu beachten, dass die Achse, die die Koordinaten definiert, um den Neigungswinkel der Erdachse ($\vartheta$, dargestellt durch ein LEGO®-Stück in hellrosa), gedreht ist:

Der zweite Punkt ist die Position auf der Erde, an der die Sonne direkt über dem Kopf steht, bekannt als der Subsolarpunkt (SP). Er kann auch durch einen Breitengrad ($\theta_s$, dargestellt durch ein LEGO®-Stück in dunkelblau) und Längengrad ($\varphi_s$, dargestellt durch ein LEGO®-Stück in hellblau) beschrieben werden, die sich mit der Zeit ändern ($t$, dargestellt durch ein LEGO®-Stück in Weiß):

ID:(713, 0)

Berechnung der Breite des subsolaren Punktes

Gleichung

>Top, >Modell

Der Subsolpunkt entspricht dem Punkt auf der Erdoberfläche, der der Sonne am nächsten ist. Aufgrund der Neigung der Erdachse um 23,44 Grad (0,409 Radiane) variiert die Breitengrad des Subsolpunktes im Laufe des Jahres.

Um dies grafisch darzustellen, können wir uns eine Kugel vorstellen, deren Achse in einem Winkel gleichen Namens geneigt ist ($\vartheta$, dargestellt durch ein LEGO®-Stück in Hellrosa), die sich im Laufe des Jahres dreht ($t$, dargestellt durch ein LEGO®-Stück in Weiß), wobei Werte für den Breitengrad ($\theta_s$, dargestellt durch ein LEGO®-Stück in Hellblau) angenommen werden, die maximal gleich der Neigung sind, aber nicht kleiner als der negative Wert der Neigung sein können:

Da der Punkt der größten Annäherung an die Sonne zum Zeitpunkt der Dezembersolstitiums liegt, das etwa 10 Tage vor Beginn des Jahres liegt, und der Fortschritt mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit erfolgt, kann der Breitengrad des Subsolpunktes mit der folgenden Formel berechnet werden:

$ \theta_s = -0.409 \cos\left(2\pi\displaystyle\frac{ n +10}{365}\right)$

wobei $n$ die Anzahl der Tage seit Beginn des Jahres ist. Dies ermöglicht es Ihnen, die Position des Subsolpunktes an jedem Tag des Jahres zu bestimmen und zu verstehen, wie sich die solare Breitengrad im Laufe der Jahreszeiten ändert.

ID:(613, 0)

Auswirkung der Neigung der Erdachse

Bild

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Die Fähigkeit, zu modellieren, wie die Deklination jeden Ort auf der Erde im Laufe des Jahres beeinflusst, ist entscheidend.

Die Gleichung, die einfach durch einen hellblauen Ziegelstein und einen weißen (der die Zeit repräsentiert) dargestellt wird, liefert uns die Extremwerte des Zenitwinkels. Im Sommer, wenn unsere Hemisphäre der Sonne näher ist,

ist der maximale Zenitwinkel gleich der Summe aus Breitengrad und Neigungswinkel. In Palos Verdes entspricht dies 63,37°.

Im Winter hingegen, wenn die Hemisphäre weiter von der Sonne entfernt ist,

wird der maximale Zenitwinkel durch Subtrahieren des Neigungswinkels von der Breite erhalten. In Palos Verdes entspricht dies 16,49°.

Auf diese Weise entspricht die Bewegung der Sonne Kreisen um die Erdachse, die sich im Zenitwinkel im Laufe des Jahres ändern. Ebenso verschieben sich die Zeiten, zu denen die Sonne auf- und untergeht, über den Horizont, wie im folgenden Diagramm gezeigt:

ID:(677, 0)

Berechnung des Stundenwinkels

Gleichung

>Top, >Modell

Um die Längengrad des Subsolpunktes $SP$ ($\varphi_s$, dargestellt durch ein LEGO®-Stück in Hellblau) zu berechnen, können wir die Differenz zwischen dieser Längengrad und der des geografischen Ortes ($\varphi_o$, dargestellt durch ein LEGO®-Stück in Dunkelrosa) untersuchen. Viel wichtiger als die Berechnung des Längengrads des Subsolpunktes selbst ist die Differenz in der Position dieses Punktes in Bezug auf den Längengrad und somit der Winkel, der im Vergleich zur Situation fehlt oder überschritten wird, in der die Sonne je nach Tageszeit oder Zeit ($t$, dargestellt durch ein LEGO®-Stück in Weiß) am höchsten steht:

Daher kann der Winkel mit der folgenden Formel berechnet werden:

$ \varphi_s - \varphi_o = 2\pi \displaystyle\frac{ t }{24\cdot 60\cdot 60}$

ID:(615, 0)

Berechnung des Sonnenazimutwinkels

Gleichung

>Top, >Modell

Der solare Azimutwinkel kann mit der folgenden ungefähren Gleichung abgeschätzt werden:

$ \sin \varphi_a = - \displaystyle\frac{\sin( \varphi_s - \varphi_o )\cos \vartheta }{\sin \theta_z }$

ID:(616, 0)

Berechnung des Zenitwinkels

Gleichung

>Top, >Modell

Die Breitengrade und Längengrade eines Ortes ermöglichen es uns, die Richtung des Zenits in Bezug auf das Zentrum der Erde zu beschreiben.

Gleichzeitig können wir mithilfe der Neigungswinkel und der Stundenwinkel die Richtung des Subsolarpunkts finden, der parallel zum untersuchten Ort verschoben werden kann.

Mit diesen beiden Richtungen können wir leicht den Winkel zwischen ihnen berechnen, was uns eine Gleichung liefert, die von den vier zuvor genannten Winkeln abhängt. Da die Winkel, die die Position des Subsolarpunkts beschreiben, von der Zeit abhängen, können wir den Zenitwinkel in Abhängigkeit von Breitengrad, Längengrad und Zeit ausdrücken.

In mathematischer Hinsicht hat die Richtung des Subsolarpunkts ($SP$) eine Breite von $\theta_s$ und eine Länge von $\varphi_s$. Die Ebene des Äquators ist gegenüber der Ebene der Ekliptik (der Ebene der Umlaufbahn der Erde um die Sonne) um einen Winkel $\vartheta$ geneigt, der der Breite des Punktes $OP$ $\theta_o$ entspricht.

Durch Berücksichtigung beider Richtungen können wir das Kosinus des Zenitwinkels als das Skalarprodukt zwischen beiden Richtungen berechnen:

$\cos \theta_z = \sin \theta_s \sin \vartheta + \cos \theta_s \cos \vartheta \cos( \varphi_s - \varphi_o )$

Der Vektor, der die Position von $OP$ angibt, ist gegeben durch:

$\vec{OP} = \cos\theta_s\cos\varphi_s\hat{x}+\cos\theta_s\sin\varphi_s\hat{y}+\sin\theta_s\hat{z}$

Während sich der Punkt $SP$ an folgender Position befindet:

$\vec{SP} = \cos\theta_o\cos\varphi_o\hat{x}+\cos\theta_o\sin\varphi_o\hat{y}+\sin\theta_o\hat{z}$

Das Kosinus des Zenitwinkels wird als das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren erhalten:

$\cos\theta_z=\vec{OP}\cdot\vec{SP}$

Daher ergibt sich:

$\cos(\varphi_s-\varphi_o)=\cos\varphi_s\cos\varphi_o+\sin\varphi_s\sin\varphi_o$

und

$\theta_o = \vartheta$

Was zu führt:

$\cos \theta_z = \sin \theta_s \sin \vartheta + \cos \theta_s \cos \vartheta \cos( \varphi_s - \varphi_o )$

ID:(614, 0)

Anleitung zur Berechnung des Zenitwinkels und Azimuts

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Aus der Breitengrad und Längengrad eines Ortes auf der Erde und der Position des sub-solaren Punktes kann man die Richtung berechnen, in der die Sonne gesehen wird. Hierzu wird zunächst berechnet, wie sich die Breitengrad des sub-solaren Punktes ändert, sowie der Sonnenstundenwinkel, der anzeigt, wie sich der sub-solare Punkt in Längengrad relativ zum betrachteten Ort auf der Erde bewegt. Mit diesen Informationen können wir den Zenit- und Azimutwinkel berechnen, was es uns ermöglicht, einen Vektor zu formulieren, der auf die Sonne zeigt:

In diesem Fall können die folgenden Berechnungen identifiziert werden:

1. Breitengrad des sub-solaren Punktes

2. Sonnenstundenwinkel

3. Zenitwinkel

4. Azimutwinkel

5. Vektor, der in Richtung der Sonne zeigt.

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