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Posição do sol

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A posição do sol é fundamental para determinar a quantidade de energia que a casa recebe na forma de radiação. Portanto, é importante compreender como essa posição pode ser modelada, levando em consideração fatores como latitude, longitude, horário do dia e estação do ano.

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Pontos de referencia na superfície do planeta

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Existem dois pontos-chave para o cálculo da posição do sol no céu. Primeiramente, há a posição geográfica (OP) de um local, que pode ser definida pela sua latitude ($\theta_0$, representada por uma peça LEGO® em roxo) e longitude ($\varphi_0$, representada por uma peça LEGO® em rosa escuro). Ao representar isso graficamente, é importante lembrar que o eixo que define as coordenadas está inclinado de acordo com o ângulo de inclinação do eixo da Terra ($\vartheta$, representado por uma peça LEGO® em rosa claro):

O segundo ponto é a posição na Terra onde o sol está diretamente acima, conhecida como o ponto subsolar (SP). Ele também pode ser descrito por uma latitude ($\theta_s$, representada por uma peça LEGO® em azul escuro) e longitude ($\varphi_s$, representada por uma peça LEGO® em azul celeste) que variam com o tempo ($t$, representado por uma peça LEGO® em branco):

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Cálculo da latitude do ponto subsolar

Equação

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O ponto subsolar corresponde ao ponto na superfície da Terra que está mais próximo do sol. Devido à inclinação do eixo do planeta em 23,44 graus (0,409 radianos), a latitude do ponto subsolar varia ao longo do ano.

Para representá-lo graficamente, podemos imaginar uma esfera com um eixo inclinado a esse mesmo ângulo ($\vartheta$, representado por uma peça LEGO® em rosa claro) que gira ao longo do ano ($t$, representado por uma peça LEGO® em branco), assumindo valores para a latitude ($\theta_s$, representada por uma peça LEGO® em azul claro) que podem atingir um máximo igual à inclinação, mas não menor que o valor negativo da inclinação:

Uma vez que o ponto de maior aproximação ao sol ocorre no solstício de dezembro, cerca de 10 dias antes do início do ano, e o avanço ocorre a uma velocidade angular constante, a latitude do ponto subsolar pode ser calculada com a seguinte fórmula:

$ \theta_s = -0.409 \cos\left(2\pi\displaystyle\frac{ n +10}{365}\right)$

onde $n$ é o número de dias desde o início do ano. Isso permite que você determine a posição do ponto subsolar em qualquer dia do ano e compreenda como a latitude solar varia ao longo das estações.

ID:(613, 0)

Efeito da inclinação do eixo da Terra

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Poder modelar como a declinação afeta cada local na Terra ao longo do ano é fundamental.

A equação, representada simplesmente por um tijolo azul claro brilhante e um tijolo branco (este último representando o tempo), fornece os extremos do ângulo zenital. No verão, quando nosso hemisfério está mais próximo do sol,

é igual à soma da latitude e da inclinação. Em Palos Verdes, isso corresponde a 63,37°.

No caso do inverno, quando o hemisfério está mais distante do sol,

o ângulo zenital máximo é obtido subtraindo a inclinação da latitude. Em Palos Verdes, isso corresponde a 16,49°.

Dessa forma, o movimento do sol corresponde a círculos ao redor do eixo da Terra que variam no ângulo zenital ao longo do ano. Da mesma forma, os horários em que o sol nasce e se põe se deslocam pelo horizonte, como mostrado no diagrama a seguir:

ID:(677, 0)

Cálculo do ângulo horário

Equação

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Para calcular a longitude do ponto subsolar $SP$ ($\varphi_s$, representada por uma peça LEGO® de cor azul claro), podemos examinar a diferença entre essa longitude e a do local geográfico ($\varphi_o$, representada por uma peça LEGO® de cor rosa escuro). Mais do que calcular a longitude do ponto subsolar em si, o que importa é a diferença na posição desse ponto em relação à longitude e, portanto, o ângulo que está faltando ou excedendo em comparação com a situação em que o sol está no ponto mais alto, dependendo da hora do dia ou do tempo ($t$, representado por uma peça LEGO® de cor branca):

Portanto, o ângulo pode ser calculado usando a seguinte fórmula:

$ \varphi_s - \varphi_o = 2\pi \displaystyle\frac{ t }{24\cdot 60\cdot 60}$

ID:(615, 0)

Cálculo do ângulo do azimute solar

Equação

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O ângulo azimutal solar pode ser estimado usando a seguinte equação aproximada:

$ \sin \varphi_a = - \displaystyle\frac{\sin( \varphi_s - \varphi_o )\cos \vartheta }{\sin \theta_z }$

ID:(616, 0)

Cálculo do ângulo zenital

Equação

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As latitudes e longitudes de um local permitem descrever a direção do zênite em relação ao centro da Terra.

Ao mesmo tempo, com a inclinação e a ascensão reta, podemos encontrar a direção do ponto subsolar, que pode ser deslocado de forma paralela ao local em estudo.

Com essas duas direções, podemos facilmente calcular o ângulo entre elas, fornecendo-nos uma equação que depende dos quatro ângulos mencionados anteriormente. Como os ângulos que descrevem a posição do ponto subsolar dependem do tempo, podemos expressar o ângulo zenital em função da latitude, longitude e tempo.

Matematicamente, a direção do ponto subsolar ($SP$) tem uma latitude $\theta_s$ e uma longitude $\varphi_s$. O plano do equador está inclinado em relação ao plano da eclíptica (o plano da órbita da Terra ao redor do Sol) por um ângulo $\vartheta$ que corresponde à latitude do ponto $OP$ $\theta_o$.

Considerando ambas as direções, podemos obter o cosseno do ângulo zenital como o produto escalar entre ambas as direções:

$\cos \theta_z = \sin \theta_s \sin \vartheta + \cos \theta_s \cos \vartheta \cos( \varphi_s - \varphi_o )$

O vetor que indica a posição de $OP$ é dado por:

$\vec{OP} = \cos\theta_s\cos\varphi_s\hat{x}+\cos\theta_s\sin\varphi_s\hat{y}+\sin\theta_s\hat{z}$

Enquanto o ponto $SP$ está localizado em:

$\vec{SP} = \cos\theta_o\cos\varphi_o\hat{x}+\cos\theta_o\sin\varphi_o\hat{y}+\sin\theta_o\hat{z}$

O cosseno do ângulo zenital é obtido como o produto escalar desses dois vetores:

$\cos\theta_z=\vec{OP}\cdot\vec{SP}$

Portanto, temos:

$\cos(\varphi_s-\varphi_o)=\cos\varphi_s\cos\varphi_o+\sin\varphi_s\sin\varphi_o$

$\theta_o = \vartheta$

Resultando em:

$\cos \theta_z = \sin \theta_s \sin \vartheta + \cos \theta_s \cos \vartheta \cos( \varphi_s - \varphi_o )$

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Instruções para calcular o ângulo zenital e o azimute

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A partir da latitude e longitude de um local na Terra e da posição do ponto subsolar, é possível calcular a direção em que o sol será visto. Para fazer isso, primeiro calculamos como a latitude do ponto subsolar varia e o ângulo horário que indica o deslocamento do ponto subsolar em longitude em relação ao local na Terra considerado. Com esses dados, podemos calcular o ângulo zenital e azimutal, o que nos permite formular um vetor que aponta para o sol:

Neste caso, os seguintes cálculos podem ser identificados:

1. Latitude do ponto subsolar

2. Ângulo horário

3. Ângulo zenital

4. Ângulo azimutal

5. Vetor da direção do sol

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